Question

如果正数数列{a_n}满足：对任意的正数M，都存在正整数n，使得，则称数列{a_n}是一个无界正数列．
（Ⅰ）若a_n=3+2sin（n）（n=1，2，3，…），分别判断数列{a_n}、{b_n}是否为无界正数列，并说明理由；
（Ⅱ）若a_n=n+2，是否存在正整数k，使得对于一切n≥k，有成立；
（Ⅲ）若数列{a_n}是单调递增的无界正数列，求证：存在正整数m，使得．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取M=5，显然a_n=3+2sin（n）≤5不符合无界正数列的定义；对任意的正数M，取n为大于2M的一个偶数，符合无界正数列的定义．
（Ⅱ）变形为从而求得；
（Ⅲ）观察要证的不等式的结构与（II）相似，故应用（II）变形后，再由{a_n}是单调递增的无界正数列证明．
解答：解：（Ⅰ）{a_n}不是无界正数列．理由如下：
取M=5，显然a_n=3+2sin（n）≤5，不存在正整数n满足；{b_n}是无界正数列．理由如下：
对任意的正数M，取n为大于2M的一个偶数，有，所以{b_n}是无界正数列．
（Ⅱ）存在满足题意的正整数k．理由如下：
当n≥3时，
因为==，
即取k=3，对于一切n≥k，有成立．
注：k为大于或等于3的整数即可．

（Ⅲ）证明：因为数列{a_n}是单调递增的正数列，
所以=．
即．
因为{a_n}是无界正数列，取M=2a₁，由定义知存在正整数n₁，使．
所以．
由定义可知{a_n}是无穷数列，考察数列，，，
显然这仍是一个单调递增的无界正数列，同上理由可知存在正整数n₂，使得．
重复上述操作，直到确定相应的正整数n₄₀₁₈．
则=n₄₀₁₈-2009．
即存在正整数m=n₄₀₁₈，使得成立．
点评：本题通过情境设置定义新的数列在研究中渗透着不等式的构造、变形、放缩，培养学生灵活运用知识的能力．