Question

（05年浙江卷理）（14分）

设点(，0)，和抛物线：y＝x²＋a_n x＋b_n(n∈N*)，其中a_n＝－2－4n－，由以下方法得到： x₁＝1，点P₂(x₂，2)在抛物线C₁：y＝x²＋a₁x＋b₁上，点A₁(x₁，0)到P₂的距离是A₁到C₁上点的最短距离，…，点在抛物线：y＝x²＋a_n x＋b_n上，点(，0)到的距离是 到 上点的最短距离．

   (Ⅰ)求x₂及C₁的方程．

   (Ⅱ)证明{}是等差数列．

Answer 1

解析：(Ⅰ)由题意,得A(1,0),C₁：y=x²-7x+b₁.

设点P(x,y)是C₁上任意一点,则|A₁P|=

令f(x)=(x-1)²+(x²-7x+b₁)²,则由题意得,,

即又P₂(x₂,0)在C₁上,∴2=x₂² -7x₂+b₁

解得x₂=3,b₁=14.故C₁方程为y=x²-7x+14.

(Ⅱ)设P(x,y)是C₁上任意一点,则|AnP|=

令g(x)=(x-x_n)²+(x²+a_nx+bn)²,则,由题意得,,

即=0,

又∵,∴(x_n+1-x_n)+2ⁿ(2x_n+1+a_n)=0(n≥1),

即(1+2ⁿ⁺¹)x_n+1-x_n+2ⁿa_n=0,   (*)

下面用数学归纳法证明x_n=2n-1.

①     当n=1时,x₁=1,等式成立.

②     假设当n=k时,等式成立,即x_k=2k-1.

则当n=k+1时,由(*)知(1+2^k+1)x_k+1-x_k+2^ka_k=0,   (*)

又a_k=-2-4k-,∴.

即当n=k+1,时等式成立.

由①②知,等式对n∈N⁺成立,∴{x_n}是等差数列.