Question

16．已知圆C的半径为1，圆心C（a，2a-4），（其中a＞0），点O（0，0），A（0，3）
（1）若圆C关于直线x-y-3=0对称，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点P，使|PA|=|2PO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出圆心坐标，可得圆的方程，再设出切线方程，利用点到直线的距离公式，即可求得切线方程；
（2）设出点C，P的坐标，利用|PA|=|2PO|，寻找坐标之间的关系，进一步将问题转化为圆与圆的位置关系，即可得出结论．

解答 解：（1）由题设知，圆心C（a，2a-4）在直x-y-3=0上，解得点C（1，-2）
所以 圆C的方程为（x-1）²+（y+2）²=1…（2分）
①若切线的斜率不存在，则切线方程x=0，符合题意…（4分）
②若切线斜率存在，设切线的方程为y-3=k（x-0），即kx-y+3=0．
由题意知，圆心C（1，-2）到切线kx-y+3=0的距离等于半径1，
即：$\frac{{|{k+2+3}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$解之得$k=-\frac{12}{5}$，所以切线方程为12x+5y-15=0…（6分）
综上所述，所求切线的方程是x=0或 12x+5y-15=0…（7分）
（2）∵圆心C（a，2a-4），半径为1，所以圆C的方程为（x-a）²+（y-2a+4）²=1．
设点P（x₀，y₀），因为|PA|=2|PO|∴${x_0}^2+{（{y_o}-3）^2}=4（{x_0}^2+{y_0}^2）$
化简得${x_0}^2+{（{y_0}^2+1）^2}=4$，又因为${（{x_0}-a）^2}+{（{y_0}-2a+4）^2}=1$…（9分）
所以点P既在以D（0，-1）为圆心，2为半径的圆上．
又在圆C上，即圆C与圆D有公共点P
则1≤CD≤3即$1≤\sqrt{{a^2}+{{（2a-3）}^2}}≤3$
∴$\left\{{\begin{array}{l}{5{a^2}-12a≤0}\\{5{a^2}-12a+8≥0}\end{array}}\right.$
由5a²-12a≤0，且a＞0得$0＜a≤\frac{12}{5}$
由5a²-12a+8≥0，得a∈R；
所以圆心C的横坐标a的取值范围为$（{0，\frac{12}{5}}]$…．（12分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．