Question

已知圆M：x²+（y-2）²=1，Q是x轴上的动点，QA、QB分别切圆M于A，B两点．
（1）若点Q的坐标为（1，0），求切线QA、QB的方程；
（2）求四边形QAMB的面积的最小值；
（3）若|AB|=

4 2

3

，求直线MQ的方程．

Answer 1

分析：（1）设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求切线QA、QB的方程；
（2）求出四边形QAMB的面积的表达式，利用|MQ|＞|MO|求出面积的最小值；
（3）设AB与MQ交于点P，通过MP⊥AB，MB⊥BQ，求出|MP|，求出|MQ|，即可求直线MQ的方程．

解答：解：（1）设过点Q的圆M的切线方程为x=my+1，------（1分）
则圆心M到切线的距离为1，∴

|2m+1|

m2+1

=1⇒m=-

4

3

或0，------（4分）
∴切线QA、QB的方程分别为3x+4y-3=0和x=1------（5分）
（2）∵MA⊥AQ，∴S_MAQB=|MA|•|QA|=

|MQ|2-|MA|2

=

|MQ|2-1

≥

|MO|2-1

=

3

------（10分）
（3）设AB与MQ交于点P，则MP⊥AB，MB⊥BQ，|MP|=

1-( 2 2 3 )2

=

1

3

，
在Rt△MBQ中，|MB|²=|MP|•|MQ|，解得|MQ|=3
设Q（x，0），则x2+22=9，x=±

5

，∴Q(±

5

，0)
∴直线MQ的方程为2x+

5

y-2

5

=0或2x-

5

y+2

5

=0------（14分）

点评：本题考查圆的切线方程的求法，四边形面积的求法，两点间的距离公式的应用，考查转化思想与计算能力．