Question

（2011•浙江模拟）数列{a_n}满足a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*）
（Ⅰ）若{a_n}是等差数列，求其通项公式；
（Ⅱ）若{a_n}满足a₁=2，S_n为{a_n}的前n项和，求S_2n+1．

Answer 1

分析：（ I）由题意得a_n+1+a_n=4n-3，a_n+2+a_n+1=4n+1．所以a_n+2-a_n=4，由{a_n}是等差数列，公差d=2，能求出an=2n-

5

2

．
（Ⅱ）由a₁=2，a₁+a₂=1，知a₂=-1．因为a_n+2-a_n=4，所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为4，故a_2n-1=4n-2，a_2n=4n-5．由此能求出S_2n+1．

解答：解：（ I）由题意得a_n+1+a_n=4n-3…①
a_n+2+a_n+1=4n+1…②．…（2分）
②-①得a_n+2-a_n=4，
∵{a_n}是等差数列，设公差为d，∴d=2，（4分）
∵a₁+a₂=1∴a₁+a₁+d=1，∴a1=-

1

2

．（6分）
∴an=2n-

5

2

．（7分）
（Ⅱ）∵a₁=2，a₁+a₂=1，
∴a₂=-1．（8分）
又∵a_n+2-a_n=4，
∴数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为4，
∴a_2n-1=4n-2，a_2n=4n-5．（11分）
S_2n+1=（a₁+a₃+…+a_2n+1）+（a₂+a₄+…+a_2n）（12分）
=(n+1)×2+

(n+1)n

2

×4+n×(-1)+

n(n-1)

2

×4
=4n²+n+2．（14分）

点评：本题数列的性质和应用，数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用．