Question

7．已知抛物线的标准方程是y²=6x．
（Ⅰ）求抛物线的焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）直线l过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，与抛物线相交于不同的两点A、B，求线段AB的长度．

Answer 1

分析 （Ⅰ）抛物线的标准方程是y²=6x，焦点在x轴上，开口向右，2p=6，即可求出抛物线的焦点坐标和准线方程，
（Ⅱ）先根据题意给出直线l的方程，代入抛物线，求出两交点的横坐标的和，然后利用焦半径公式求解即可．

解答 解：（Ⅰ）抛物线的标准方程是y²=6x，焦点在x轴上，开口向右，2p=6，∴$\frac{p}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴抛物线的焦点坐标（$\frac{3}{2}$，0），准线方程x=-$\frac{3}{2}$；
（Ⅱ）∵直线l过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，
∴直线l的方程为y=x-$\frac{3}{2}$，
代入抛物线y²=6x化简得x²-9x+$\frac{9}{4}$=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=9，
所以|AB|=x₁+x₂+p=9+3=12．
故所求的弦长为12．

点评 本题考查了直线与抛物线的位置关系中的弦长问题，因为是过焦点的弦长问题，所以利用了焦半径公式．属于基础题．