Question

已知函数f（x）=2x³-3ax²+1．
（1）若x=1为函数f（x）的一个极值点，试确定实数a的值，并求此时函数f（x）的极值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=2x³-3ax²+1，∴f'（x）=6x²-6ax．依题意得f'（1）=6-6a=0，解得a=1．
所以f（x）=2x³-3x²+1，f'（x）=6x（x-1）．令f′（x）=0，解得x=0或x=1．列表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以当x=0时，函数f（x）取得极大值f（0）=1；
当x=1时，函数f（x）取得极小值f（1）=0．
（2）∵f′（x）=6x²-6ax=6x（x-a），
∴①当a=0时，f′（x）=6x²≥0，函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，f′（x）=6x（x-a），f′（x）、f（x）随x的变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

由上表可知，函数f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增；
③同理可得，当a＜0时，函数f（x）在（-∞，a）上单调递增，在（a，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．
综上所述，当a=0时，函数f（x）的单调递增区间是（-∞，+∞）；
当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（a，+∞），单调递减区间是（0，a）；
当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间是（-∞，a）和（0，+∞），单调递减区间是（a，0）．
分析：（1）先求导函数，然后根据x=1为函数f（x）的一个极值点，则f'（1）=0求出a的值，最后利用导数符号确定函数的极值点，代入原函数，求出极值即可；
（2）讨论a的正负，然后分别解f′（x）＞0与f′（x）＜0，即可求出函数的单调区间．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．