Question

由原点O向三次曲线y=x³-3ax²（a≠0）引切线，切点为P₁（x₁，y₁）（O，P₁两点不重合），再由P₁引此曲线的切线，切于点P₂（x₂，y₂）（P₁，P₂不重合），如此继续下去，得到点列：{P_n（x_n，y_n）}
（1）求x₁；
（2）求x_n与x_n+1满足的关系式；
（3）若a＞0，试判断x_n与a的大小关系，并说明理由

Answer 1

分析：（1）由y=x³-3ax²（a≠0）求导得直线的斜率，设出过曲线上的点P₁（x₁，y₁）的切线L₁的方程，再由切线L₁过原点O求解；
（2）不妨设过曲线上的点P_n+1（x_n+1，y_n+1）处的切线L_n+1方程为y-（x_n+1³-3ax_n+1²）=（3x_n+1²-6ax_n+1）（x-x_n+1），由L_n+1过点P_n（x_n，y_n）代入方程，化简可得其关系；
（3）由（2）的结论有x_n+1=-

1

2

x_n+

3

2

a，通过配方转化为x_n+1-a=-

1

2

（x_n-a）有数列{x_n-a}是首项为x₁-a=

a

2

，公比为-

1

2

的等比数列求得x_n=[1-(-

1

2

)n]a再比较．

解答：解：（1）由y=x³-3ax²（a≠0）得y′=3x²-6ax
过曲线上的点P₁（x₁，y₁）的切线L₁的方程为
y-（x₁³-3ax₁²）=（3ax₁²-6ax₁）（x-x₁）
又∵切线L₁过原点O，-（x₁³-3ax₁²）=（3ax₁²-6ax₁）（x-x₁）化得x₁=

3a

2

（2）过曲线上的点P_n+1（x_n+1，y_n+1）处的切线L_n+1方程为
y-（x_n+1³-3ax_n+1²）=（3x_n+1²-6ax_n+1）（x-x_n+1），
L_n+1过点P_n（x_n，y_n）得x_n³-3ax_n²-x_n+1³+3ax_n+1²=（3x_n+1²-6ax_n+1）（x_n-x_n+1），
由于x_n≠x_n+1，分解因式并约简，得：x_n²+x_nx_n+1+x_n+1²-3a（x_n+x_n+1）=3x_n+1²-6ax_n+1
∴x_n²+x_nx_n+1-2x_n+1²-3a（x_n-x_n+1）=0
（x_n-x_n+1）（x_n+2x_n+1）-3a（x_n+x_n+1）=0
∴x_n+2x_n+1=3a

（3）由（2）得：x_n+1=-

1

2

x_n+

3

2

a，
∴x_n+1-a=-

1

2

（x_n-a）
故有数列{x_n-a}是首项为x₁-a=

a

2

，公比为-

1

2

的等比数列
∴x_n-a=

a

2

(-

1

2

)n-1，
∴x_n=[1-(-

1

2

)n]a
∵a＞0，
∴当n为偶数时，x_n＜a；当n为奇数时x_n＞a

点评：本题主要考查导数的几何意义通过点在线上，构造数列模型考查数列变形转化及通项间的关系．