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各项均为正数的等比数列{an},a1=1,a2a4=16,单调增数列{bn}的前n项和为Sn,a4=b3,且6Sn=bn2+3bn+2(n∈N*).
(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(Ⅱ)令数学公式(n∈N*),求使得cn>1的所有n的值,并说明理由.
(Ⅲ) 证明{an}中任意三项不可能构成等差数列.

解:(Ⅰ)∵a2a4=a12q4=q4=16,q2=4,∵an>0,∴q=2,∴an=2n-1
∴b3=a4=8.∵6Sn=bn2+3bn+2 ①
当n≥2时,6Sn-1=bn-12+3bn-1+2 ②
①-②得6bn=bn2-bn-12+3bn-3bn-1即(bn+bn-1)(bn-bn-1)=3(bn+bn-1
∵bn>0∴bn-bn-1=3,∴{bn}是公差为3的等差数列.
当n=1时,6b1=b12+3b1+2,解得b1=1或b1=2,
当b1=1时,bn=3n-2,此时b3=7,与b3=8矛盾;当b1=3时bn=3n-1,此时此时b3=8=a4,∴bn=3n-1.
(Ⅱ)∵bn=3n-1,∴=,∴c1=2>1,c2=>1,c3=2>1,>1,<1,
下面证明当n≥5时,cn<1
事实上,当n≥5时,=<0
即cn+1<cn,∵<1∴当n≥5时,Cn<1,
故满足条件Cn>1的所有n的值为1,2,3,4.
(Ⅲ)假设{an}中存在三项p,q,r (p<q<r,p,q,R∈N*)使ap,aq,ar构成等差数列,
∴2aq=ap+ar,即2•2q-1=2p-1+2r-1.∴2q-p+1=1+2r-p
因左边为偶数,右边为奇数,矛盾.
∴假设不成立,故不存在任意三项能构成等差数列.
分析:(Ⅰ)由a2a4=a12q4=q4=16,q2=4,知an=2n-1,b3=a4=8.由6Sn=bn2+3bn+2,知(bn+bn-1)(bn-bn-1)=3(bn+bn-1),由此能够求出bn=3n-1.
(Ⅱ)由bn=3n-1,知=,由此能求出满足条件Cn>1的所有n的值为1,2,3,4.
(Ⅲ)假设{an}中存在三项p,q,r (p<q<r,p,q,R∈N*)使ap,aq,ar构成等差数列,所以2•2q-1=2p-1+2r-1.2q-p+1=1+2r-p.因左边为偶数,右边为奇数,故假设不成立,即不存在任意三项能构成等差数列.
点评:本题考查数列与不等式的综合,解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.
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科目:高中数学 来源:云南省昆明市东川高级中学2009-2010学年高二数学上期期中质量检测试题 题型:013

各项均为正数的等比数例{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于

[  ]
A.

16

B.

26

C.

30

D.

80

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科目:高中数学 来源: 题型:

5.各项均为正数的等比数例{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于(  )

(A)16                      (B)26                              (C)30                      (D )80

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