Question

【题目】解答题。
（1）已知方程x2+（m﹣3）x+m=0有两个不等正实根，求实数m的取值范围．
（2）不等式（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：方程x2+（m﹣3）x+m=0有两个不等正实根，

即 ， ，△=b2﹣4ac＞0，

可得：

解得：0＜m＜1．

故得实数m的取值范围是（0，1）

（2）解：（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0对任意x∈R恒成立．

①若m2﹣2m﹣3=0，则m=﹣1或m=3．

当m=﹣1时，不合题意；当m=3时，符合题意．

②若m2﹣2m﹣3≠0，设f（x）=（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0对任意x∈R恒成立．

则：m2﹣2m﹣3＜0，△=b2﹣4ac＜0，

解得： ．

故得实数m的取值范围是（﹣ ，3）

【解析】（1）根据一元二次方程的根的分布可得答案．（2）对二次项系数进行讨论求解．