Question

9．已知两个正数x，y满足x+y=4，求使不等式$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}≥m$恒成立的实数m的范围．

Answer 1

分析 根据恒成立问题，只要利用基本不等式求出不等式左边的最小值即可．

解答 解：因为两个正数x，y满足x+y=4，求使不等式$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}≥m$恒成立，
又$\frac{x+y}{4x}+\frac{x+y}{y}$=$\frac{5}{4}+\frac{y}{4x}+\frac{x}{y}$≥$\frac{5}{4}+2\sqrt{\frac{y}{4x}\frac{x}{y}}$=$\frac{9}{4}$，当且仅当$\frac{y}{4x}=\frac{x}{y}$即x=$\frac{4}{3}$，y=$\frac{8}{3}$时等号成立；
所以m≤$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了恒成立问题以及基本不等式的应用；属于中档题．