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已知函数,若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有五个不等实根x1,x2,…,x5,则f(x1+x2+…+x5)=( )
A.log53
B.1+log53
C.1+log54
D.2
【答案】分析:分情况讨论,当x=5时,f(x)=3,则由程f2(x)+bf(x)+c=0  得 x1 =5,c=-3b-9.当x>5时,f(x)
=log5(x-5),由关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0得有 x2=125+5=130,x3=5-3-b+5.当x<5时,
f(x)=log5(5-x),由关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0得 x4=-120,x5=5-5-3-b.故有 x1+x2+…+x5
=25,再由 f(x1+x2+…+x5)=f(25)运算求得结果.
解答:解:当x=5时,f(x)=3,由关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0 得 9+3b+c=0,故x1 =5,c=-3b-9.
当x>5时,f(x)=log5(x-5),由关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0
+blog5(x-5)-3b-9=0,即[log5(x-5)-3]•[log5(x-5)+3+b]=0,
解上述方程可得 log5(x-5)=3,或 log5(x-5)=-3-b.
故有 x2=125+5=130,x3=5-3-b+5.
当x<5时,f(x)=log5(5-x),由关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0得
+blog5(5-x)-3b-9=0,
解得 log5(5-x)=3,或 log5(5-x)=-3-b.故有 x4=-120,x5=5-5-3-b
∴x1+x2+…+x5 =25,
∴f(x1+x2+…+x5)=f(25)=log520=1+log54,
故选C.
点评:这是一道比较难的对数函数综合题,解题时按照题设条件分别根据a=0、a>0和a<0三种情况求出关于x的
方程f2(x)+bf(x)+c=0的5个不同的实数解x1、x2、x3、x4、x5,然后再求出f(x1+x2+x3+x4+x5)的
值,属于中档题.
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