Question

在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A、B的坐标分别是（-1，0），（1，0），点G是△ABC的重心，y轴上一点M满足GM∥AB，且|MC|=|MB|．
（I）求△ABC的顶点C的轨迹E的方程；
（II）不过点A的直线l：y=kx+b与轨迹E交于不同的两点P、Q，当

AP

•

AQ

=0时，求k与b的关系，并证明直线l过定点．

Answer 1

分析：（I）先设出点C的坐标，利用G为△ABC的重心找到点G的坐标，再利用点M在y轴上且MG∥AB求出点M的坐标，结合∵|MC|=|MB|即可找到△ABC的顶点C的轨迹E的方程；
（II）先把直线方程和轨迹E的方程联立找到关于点P和点Q坐标之间的关系式，再利用

AP

•

AQ

=0就可找到k与b的关系，再反代入直线方程，就可证明直线l过定点．

解答：解：（I）设点C坐标为（x，y）
因为G为△ABC的重心
故G点坐标为(

x

3

，

y

3

)（2分）
由点M在y轴上且MG∥AB知点M的坐标为(0，

y

3

)∵|MC|=|MB|∴x2+(

2

3

y)2=1+(

y

3

)2，
即x2+

y2

3

=1(y≠0)
∴△ABC的顶点C的轨迹E的方程是x2+

y2

3

=1(y≠0)（5分）
（II）设直线y=kx+b与x2+

y2

3

=1的两交点为P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
把y=kx+b与x2+

y2

3

=1联立得：

y=kx+b x2+ y2 3 =1

消去y得：（k²+3）x²+2kbx+b²-3=0（7分）
∴△=4k²b²-4（k²+3）（b²-3）=12（k²-b²+3）＞0
且x1+x2=-

2kb

k2+3

，x1x2=

b2-3

k2+3

．（9分）
∵

AQ

•

AQ

=0，∴(x1+1)(x2+1)+y1y2=0
故（k²+1）x₁x₂+（kb+1）（x₁+x₂）+b²=0
代入整理得：k²+kb-2b²=0∴k=b或k=-2b．（10分）
（1）当k=b时，y=kx+b=k（x+1）直线过点（-1，0）不合题意舍去．
（2）当k=-2b时，y=kx+b=k(x-

1

2

)，直线过点(

1

2

，0)
综上知：k=-2b，直线过定点(

1

2

，0)（14分）

点评：本题综合考查了直线与椭圆的位置关系以及向量垂直问题．在做第一问时，一定要注意点C不能与AB在一条直线上．