Question

已知椭圆C的方程为（a＞0），其焦点在x轴上，点Q为椭圆上一点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点P（x₀，y₀）满足，其中M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为，求证：为定值；
（3）在（2）的条件下探究：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）因为点为椭圆上一点，
所以，解得a²=4，
所以椭圆方程为；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
又，化简得x₁x₂+2y₁y₂=0，
又M、N是椭圆C上的点，所以，，即，，
由，，
所以
=
=4+4×4+4（x₁x₂+2y₁y₂）
=20（定值）；
（3）由（2）知，动点P（x₀，y₀）满足，即，
所以点P的轨迹是以为焦点的椭圆．
故存在点A（）、B（），使得|PA|+|PB|=（定值）．
分析：（1）把点Q坐标代入椭圆方程即可求得a²；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由直线OM与ON的斜率之积为，可得M、N坐标间的关系式，由，，从而可化为M、N坐标的表达式，再由M、N是椭圆C上的点即可求得为定值；
（3）由（2）知，动点P（x₀，y₀）满足，从而可判断点P轨迹是椭圆，其焦点即为定点A、B；
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解及平面向量基本定理，考查学生对问题的理解分析能力及解决问题的能力，具有一定综合性．