Question

已知函数f（x）=2sin（x+

π

6

），x∈R
（1）已知tanθ=-2，θ∈（

π

2

，π），求f（θ）的值；
（2）若α，β∈[0，

π

3

]，f（α）=2，f（β）=

8

5

，求f（2β+2α）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）由已知易得sinθ=

2 5

5

，cosθ=-

5

5

，而f（θ）=2sin（θ+

π

6

）=

3

sinθ+cosθ，代值计算即可；
（2）由已知可得sin（β+

π

6

）=

4

5

，可得α=

π

3

，cos（β+

π

6

）=

3

5

，进而可得sinβ和cosβ，可得sin2β和cos2β的值，而f（2β+2α）=2sin（2β+

5π

6

）=-

3

sin2β+cos2β，代值计算可得．

解答： 解：（1）∵tanθ=-2，θ∈（

π

2

，π），
∴sinθ=

2 5

5

，cosθ=-

5

5

，
∴f（θ）=2sin（θ+

π

6

）
=

3

sinθ+cosθ
=

2 15 - 5

5

；
（2）∵α，β∈[0，

π

3

]，f（α）=2sin（α+

π

6

）=2，
f（β）=2sin（β+

π

6

）=

8

5

，
∴sin（α+

π

6

）=1，sin（β+

π

6

）=

4

5

，
∴α=

π

3

，cos（β+

π

6

）=

3

5

，
∴sinβ=sin[（β+

π

6

）-

π

6

]=

4

5

×

3

2

-

3

5

×

1

2

=

4 3 -3

10

cosβ=cos[（β+

π

6

）-

π

6

]=

3

5

×

3

2

+

4

5

×

1

2

=

3 3 +4

10

，
∴sin2β=2×

4 3 -3

10

×

3 3 +4

10

=

24+7 3

50

cos2β=（

3 3 +4

10

）²-（

4 3 -3

10

）²=

-7+24 3

50

∴f（2β+2α）=2sin（2β+2α+

π

6

）=2sin（2β+

5π

6

）
=-

3

sin2β+cos2β=-

24 3 +21

50

+

-7+24 3

50

=-

14

25

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及二倍角公式，属中档题．