【题目】已知圆M的方程为,直线l的方程为
,点P在直线l上,过点P作圆M的切线PA,PB,切点为A,B.
若
,试求点P的坐标;
求四边形PAMB面积的最小值及此时点P的坐标;
求证:经过A,P,M三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.
【答案】(1)或
;(2)四边形PAMB面积的最小值为
,P的坐标为
;(3)见解析.
【解析】
设
,连接MP,分析易得
,即有
,解可得m的值,即可得答案;
根据题意,分析易得
,又由
,当MP最小时,即直线MP与直线l垂直时,四边形PAMB面积最小,设出P的坐标,则有
,解可得n的值,进而分析MP的最小值,求出四边形PAMB面积,即可得答案;
根据题意,分析可得:过A,P,M三点的圆为以MP为直径的圆,设P的坐标为
,用m表示过A,P,M三点的圆为
,结合直线与圆位置关系,分析可得答案.
根据题意,点P在直线l上,
设,连接MP,
因为圆M的方程为,
所以圆心,半径
.
因为过点P作圆M的切线PA、PB,切点为A、B;
则有,
,且
,
易得≌
,
又由,即
,
则,
即有,
解可得:或
,
即P的坐标为或
;
根据题意,
≌
,则
,
又由,
当MP最小时,即直线MP与直线l垂直时,四边形PAMB面积最小,
设此时P的坐标为;有
,解可得
,
即P的坐标为;
此时,则四边形PAMB面积的最小值为
;
根据题意,PA是圆M的切线,则
,则过A,P,M三点的圆为以MP为直径的圆,
设P的坐标为,
,
则以MP为直径的圆为,
变形可得:,即
;
则有,解可得:
或
;
则当、
和
、
时,
恒成立,
则经过A,P,M三点的圆必过定点,且定点的坐标为和
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【题目】已知直线l: (t为参数,α为l的倾斜角),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C为:ρ2﹣6ρcosθ+5=0.
(1)若直线l与曲线C相切,求α的值;
(2)设曲线C上任意一点的直角坐标为(x,y),求x+y的取值范围.
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【题目】如图所示,P是△ABC所在平面外的一点,点A′,B′,C′分别是△PBC,△PCA,△PAB的重心.
(1)求证:平面ABC∥平面A′B′C′;
(2)求△A′B′C′与△ABC的面积之比.
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【题目】如图1,在高为2的梯形ABCD中,,
,
,过A、B分别作
,
,垂足分别为E、
已知
,将D、C沿AE、BF折向同侧,得空间几何体
,如图2.
若
,求证:
;
若
,线段AB的中点是P,求CP与平面ACD所成角的正弦值.
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【题目】锐角△ABC中,其内角A,B满足:2cosA=sinB﹣ cosB.
(1)求角C的大小;
(2)D为AB的中点,CD=1,求△ABC面积的最大值.
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【题目】如图四棱锥中,底面ABCD是平行四边形,
平面ABCD,垂足为G,G在AD上,且
,
,
,
,E是BC的中点.
求异面直线GE与PC所成的角的余弦值;
求点D到平面PBG的距离;
若F点是棱PC上一点,且
,求
的值.
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【题目】已知向量 =(﹣2sin(π﹣x),cosx),
=(
cosx,2sin(
﹣x)),函数f(x)=1﹣
.
(1)若x∈[0, ],求函数f(x)的值域;
(2)当x∈[0,π]时,求f(x)的单调递增区间.
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【题目】已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为 ,椭圆C上的点到右焦点的最大距离为3.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)斜率存在的直线l与椭圆C交于A,B两点,并且满足|2 +
|=|2
﹣
|,求直线在y轴上截距的取值范围.
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