Question

当a＞0时，设命题P：函数f(x)=x+

a

x

在区间（1，2）上单调递增；命题Q：不等式x²+ax+1＞0对任意x∈R都成立．若“P且Q”是真命题，则实数a的取值范围是（　　）

• A、0＜a≤1
• B、1≤a＜2
• C、0≤a≤2
• D、0＜a＜1或a≥2

Answer 1

分析：题中条件：““P且Q”是真命题”，说明P且Q都是真，分别利用导数f′（x）≥0在区间（1，2）上恒成立求出P是真，求出a的取值范围；Q是真时利用二次方程的根的判别式，求出a的取值范围．最后求出交集即得．

解答：解：∵函数f(x)=x+

a

x

在区间（1，2）上单调递增；
∴f′（x）≥0在区间（1，2）上恒成立，
∴1-

a

x2

≥0在区间（1，2）上恒成立，
即a≤x²在区间（1，2）上恒成立，
∴a≤1．且a＞0…①
又不等式x²+ax+1＞0对任意x∈R都成立，
∴△=a²-4＜0，
∴-2＜a＜2…②
若“P且Q”是真命题，
则P且Q都是真命题，故由①②的交集得：0＜a≤1，
则实数a的取值范围是0＜a≤1．
故选A．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、逻辑连接词“且”的应用、不等式的恒成立等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．不含逻辑连接词的命题，叫做简单命题．两个简单命题通过“或”、“且”连接或在一个命题前加“非”组成新的命题，叫做复合命题．