Question

15．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，若AD=PA=a，$AB=\sqrt{2}a$．
（1）在PC上是否存在一点Q，使得AQ∥平面MND？若存在，求出该点的位置，若不存在，请说明理由；
（理）（2）求二面角N-MD-C大小．
（文）（2）求三棱锥P-MND的体积．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面DMN的法向量，设在PC上存在一点Q（x₁，y₁，z₁），且$\overrightarrow{PQ}$=t$\overrightarrow{PC}$，使得AQ∥平面MND，求出$\overrightarrow{AQ}$，由$\overrightarrow{n}$$•\overrightarrow{AQ}$=0，能求出Q点的位置．
（2）（理）求出平面DMN的法向量和平面MDC的法向量，由此利用向量法能求出二面角N-MD-C大小．
（文）利用等体积转换，即可求三棱锥P-MND的体积．

解答 解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
由已知得D（a，0，0），P（0，0，a），M（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0），C（a，$\sqrt{2}a$，0），N（$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，$\frac{a}{2}$），
∴$\overrightarrow{DM}$=（-a，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0），$\overrightarrow{DN}$=（-$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，$\frac{a}{2}$），
设平面DMN的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{-ax+\frac{\sqrt{2}}{2}ay=0}\\{-\frac{a}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}ay+\frac{a}{2}z=0}\end{array}\right.$，
取y=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{2}$，-1），
设在PC上存在一点Q（x₁，y₁，z₁），且$\overrightarrow{PQ}$=t$\overrightarrow{PC}$，使得AQ∥平面MND，
则（x₁，y₁，z₁-a）=（ta，$\sqrt{2}ta$，-ta），0≤t≤1，∴Q（ta，$\sqrt{2}ta$，a-ta），
$\overrightarrow{AQ}$=（ta，$\sqrt{2}ta$，a-ta），
∴$\overrightarrow{n}$$•\overrightarrow{AQ}$=ta+2ta-a+ta=0，解得t=$\frac{1}{4}$，
∴在PC上存在一点Q，使得AQ∥平面MND，且$\overrightarrow{PQ}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{PC}$，点Q（$\frac{1}{4}a，\frac{\sqrt{2}}{4}a$，$\frac{3}{4}$a）．
（2）（理）平面DMN的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{2}$，-1），平面MDC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角N-MD-C的平面角的大小为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{-1}{\sqrt{4}}$|=$\frac{1}{2}$，
∴θ=60°，即二面角N-MD-C大小为60°．
（文）S_△PDN=$\frac{1}{2}{S}_{△PDC}$=$\frac{1}{2}×$$\frac{1}{2}×\sqrt{2}a×\sqrt{2}a$=$\frac{{a}^{2}}{2}$，
M到平面PDN的距离=A到平面PDC的距离=$\sqrt{2}$a，
∴三棱锥P-MND的体积=$\frac{1}{3}×\frac{{a}^{2}}{2}×\sqrt{2}a$=$\frac{\sqrt{2}}{6}{a}^{3}$．

点评 本题考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查二面角的大小的求法，考查求三棱锥P-MND的体积，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．