Question

19．已知△ABC中，cosA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，则内角C等于（　　）

• A． $\frac{3π}{4}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 利用同角三角函数间的关系式可求得sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$，利用诱导公式与两角和的余弦函数公式即可求得cosC的值，结合C的范围即可得解．

解答 解：△ABC中，∵cosA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$＞0，cosB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$＞0，
∴A、B均为锐角，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，同理可得sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{3\sqrt{10}}{10}$+$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{10}}{10}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0＜C＜π，
∴可得：C=$\frac{3π}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查同角三角函数间的关系式，考查诱导公式与两角和的余弦函数公式的应用，考查运算能力，属于中档题．