Question

【题目】如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EF⊥C1D．求证：

（1）直线A1E∥平面ADC1；
（2）直线EF⊥平面ADC1 ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接ED，∵D，E分别为BC，B1C1的中点，

∴B1E∥BD且B1E=BD，

∴四边形B1BDE是平行四边形，

∴BB1∥DE且BB1=DE，又BB1∥AA1且BB1=AA1，

∴AA1∥DE且AA1=DE，

∴四边形AA1ED是平行四边形，

∴A1E∥AD，又∵A1E平面ADC1，AD平面ADC1，

∴直线A1E∥平面ADC1

（2）证明：在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，

又AD平面ABC，所以AD⊥BB1，

又△ABC是正三角形，且D为BC的中点，∴AD⊥BC，

又BB1，BC平面B1BCC1，BB1∩BC=B，

∴AD⊥平面B1BCC1，

又EF平面B1BCC1，∴AD⊥EF，

又EF⊥C1D，C1D，AD平面ADC1，C1D∩AD=D，

∴直线EF⊥平面ADC1

【解析】（1）连接ED，∵D，E分别为BC，B1C1的中点．可得四边形B1BDE是平行四边形，进而证明四边形AA1ED是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明直线A1E∥平面ADC1 ． （2）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，利用线面垂直的判定与性质定理可得AD⊥BB1 ， 又△ABC是正三角形，可得AD⊥BC，再利用线面垂直的判定定理即可证明结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行，以及对直线与平面垂直的判定的理解，了解一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．