Question

（本题满分12分）
四个纪念币A、B、C、D，投掷时正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）

纪念币	A	B	C	D
概率	1/2	1/2	a	a

这四个纪念币同时投掷一次，设ξ表示出正面向上的个数。
（1）求概率p(ξ)
（2）求在概率p(ξ)，p（ξ=2）为最大时，a的取值范围。
（3）求ξ的数学期望。

Answer 1

a∈[]  ,2a+1

解：
（1）p(ξ个正面向上，4-ξ个背面向上的概率，其中ξ可能取值为0，1，2，3，4。
∴p(ξ="0)=" (1-)2(1-a)2=(1-a)2
p(ξ="1)=" (1-)(1-a)2+(1-)2·a(1-a)= (1-a)
p(ξ="2)=" ()2(1-a)2+(1-)a(1-a)+ (1-)2· a²=(1+2a-2 a²)
p(ξ="3)=" ()2a(1-a)+ (1-) a²=
p(ξ="4)=" ()2 a²=a²              ……………………………………5分
(2) ∵0＜a＜1,∴p(ξ="1)" ＜p(ξ=1),p(ξ="4)" ＜p(ξ=3)
则p(ξ="2)-" p(ξ="1)=" (1+2a-2 a²)- =－≥0
由
，即a∈[]                ……………………9分
（3）由（1）知ξ的数学期望为
Eξ=0×（1-a）2+1×(1-a)+2×(1+2a-2a²)+3×+4×=2a+1………………12分