Question

【题目】如图，已知抛物线C：y2＝4x，过点A(1，2)作抛物线C的弦AP，AQ.

(1)若AP⊥AQ，证明：直线PQ过定点，并求出定点的坐标；

(2)假设直线PQ过点T(5，－2)，请问是否存在以PQ为底边的等腰三角形APQ？若存在，求出△APQ的个数，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

解：(1)设直线PQ的方程为x＝my＋n，点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．

由得y2－4my－4n＝0.

由Δ>0，得m2＋n>0，

y1＋y2＝4m，y1·y2＝－4n.

∵AP⊥AQ，∴·＝0，

∴(x1－1)(x2－1)＋(y1－2)(y2－2)＝0.

又x1＝，x2＝，

∴(y1－2)(y2－2)[(y1＋2)(y2＋2)＋16]＝0，

∴(y1－2)(y2－2)＝0或(y1＋2)(y2＋2)＋16＝0.

∴n＝－2m＋1或n＝2m＋5.

∵Δ>0恒成立，∴n＝2m＋5.

∴直线PQ的方程为x－5＝m(y＋2)，

∴直线PQ过定点(5，－2)．

(2)假设存在以PQ为底边的等腰三角形APQ.

设直线PQ的方程为x＝my＋n.

∵直线PQ过点T(5，－2)，

∴5＝m·(－2)＋n，

∴n＝2m＋5.

∴直线PQ的方程为x＝my＋2m＋5.

设点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．

由得

y2－4my－8m－20＝0.

∴y1＋y2＝4m，y1·y2＝－8m－20.

∵PQ的中点坐标为

M，

即M，

且＝

＝2m2＋2m＋5，

∴PQ的中点坐标为M(2m2＋2m＋5，2m)．

由已知得＝－m，

即m3＋m2＋3m－1＝0.

设g(m)＝m3＋m2＋3m－1，

则g′(m)＝3m2＋2m＋3>0，

∴g(m)在R上是增函数．

又g(0)＝－1<0，g(1)＝4>0，

∴g(m)在(0，1)内有一个零点．

∴函数g(m)在R上有且只有一个零点，即方程m3＋m2＋3m－1＝0在R上有唯一实根，

∴满足条件的等腰三角形有且只有一个．