Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0成立．
（Ⅰ）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明．
（Ⅱ）解不等式：f(x+

1

2

)＜f(

1

x-1

)
（Ⅲ）若f（x）≤m²-2am+1对所有的a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）在[-1，1]上为奇函数，结合a+b≠0时有

f(a)+f(b)

a+b

＞0成立，利用函数的单调性定义可证出f（x）在[-1，1]上为增函数；
（II）根据函数的单调性，化原不等式为-1≤x+

1

2

＜

1

x-1

≤1，解之即得原不等式的解集；
（III）由（I）结论化简，可得f（x）≤m²-2am+1对所有的a∈[-1，1]恒成立，即m²-2am≥0对所有的a∈[-1，1]恒成立，利用一次函数的性质并解关于m的二次不等式，即可得到实数m的取值范围．

解答：解：（I）f（x）在[-1，1]上为增函数，证明如下：
设x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，
在

f(a)+f(b)

a+b

＞0中令a=x₁、b=-x₂，可得

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＞0，
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
又∵f（x）是奇函数，得f（-x₂）=-f（x₂），
∴

f(x1)-f(-x2)

x1-x2

＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
故f（x）在[-1，1]上为增函数…（6分）．
（II）∵f（x）在[-1，1]上为增函数，
∴不等式f(x+

1

2

)＜f(

1

x-1

)，即-1≤x+

1

2

＜

1

x-1

≤1
解之得x∈[-

3

2

，-1），即为原不等式的解集；
（III）由（I），得f（x）在[-1，1]上为增函数，且最大值为f（1）=1，
因此，若f（x）≤m²-2am+1对所有的a∈[-1，1]恒成立，
即1≤m²-2am+1对所有的a∈[-1，1]恒成立，得m²-2am≥0对所有的a∈[-1，1]恒成立
∴m²-2m≥0且m²+2m≥0，解之得m≤-2或m≥2或m=0
即满足条件的实数m的取值范围为{m|m≤-2或m≥2或m=0}．

点评：本题给出抽象函数，研究函数的单调性并依此解关于x的不等式．着重考查了函数的奇偶性和单调性及其相互关系等知识，属于中档题．