Question

10．若点P、Q均在椭圆$Γ：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{{a^2}-1}}=1$（a＞1）上运动，F₁、F₂是椭圆Γ的左、右焦点，则$|{\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}-2\overrightarrow{PQ}}|$的最大值为2a．

Answer 1

分析 利用向量的平行四边形法则可得：$\overrightarrow{P{F}_{1}}+\overrightarrow{P{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{PO}$，代入再利用向量的三角形法则、椭圆的性质即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}+\overrightarrow{P{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{PO}$，
∴$|{\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}-2\overrightarrow{PQ}}|$=$|2\overrightarrow{PO}-2\overrightarrow{PQ}|$=2$|\overrightarrow{OQ}|$≤2a，
∴$|{\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}-2\overrightarrow{PQ}}|$的最大值为2a，
故答案为：2a．

点评 本题考查了椭圆的定义及其标准方程、向量的平行四边形法则与三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．