Question

已知两圆Q₁：（x+1）²+y²=

5

4

和Q₂：（x-1）²+y²=

45

4

，动圆P与⊙O₁外切，且与⊙O₂内切．
（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程；
（Ⅱ）过点M（5，0）作直线l与点P的轨迹交于不同两点A、B，试推断是否存在直线l，使得线段AB的垂直平分线经过圆心O₂？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知条件中，两圆Q₁：（x+1）²+y²=

5

4

和Q₂：（x-1）²+y²=

45

4

，动圆P与⊙O₁外切，且与⊙O₂内切．易得动圆圆心P到已知两圆圆心的距离和为定值，即动圆圆心P的轨迹是一个椭圆，根据已知条件求出a，b值，即可确定动圆圆心P的轨迹方程．
（2）我们可以假设这样的直线存在，由其经过点M（5，0），故可以设出其点斜式方程，然后经过推理得到矛盾，即说明假设不成立，即不存在这样的直线．

解答：解：（Ⅰ）由已知，点O₁（-1，0），O₂（1，0），r1=

5

2

，r2=

3 5

2

，则
|O₁O₂|=2＜r₂-r₁，所以⊙O₁内含于⊙O₂．
设圆P的半径为r，因为动圆P与⊙O₁外切，且与⊙O₂内切，则
|PO1|+|PO2|=(r1+r)+(r2+r)=r1+r2=2

5

．
所以动圆圆心P轨迹是以点O₁O₂为焦点的椭圆
因为a=

5

，c=1，所以b²=a²-c²=4．
故动圆圆心P的轨迹方程是

x2

5

+

y2

4

=1
（Ⅱ）因为直线x=5与椭圆无交点，可设直线l方程为y=k（x-5）．
由

x2 5 + y2 4 =1 y=k(x-5)

，得4x²+5k²（x-5）²=20，即（5k²+4）x²-50k²x+125k²-20=0
设点A（x₁，y₁，B（x₂，y₂），AB的中点为C（x₀，y₀），则
x0=

x1+x2

2

=

25k2

5k2+4

，y₀=k（x₀-5）=k(

25k2

5k2+4

-5)=．
若线段AB的垂直平分线经过圆心O₂，则CO₂⊥l，即k•kCO2=-1
所以

-20k 5k2+4

25k2 5k2+4 -1

=

-20k2

20k2-4

=-1，即4=0，矛盾！
故不存在直线l使得线段AB的垂直平分线经过圆心O₂．

点评：本题考查的知识点是圆的方程、椭圆的性质及椭圆与直线的关系，解题的关键是根据已知条件中未知圆与已知圆的位置关系，结合“圆的位置关系与半径及圆心距的关系”，探究出动圆圆心P的轨迹，进而给出动圆圆心P的轨迹方程．