Question

如图，在等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=

2

，AD⊥PB，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．

（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角P-DC-B的大小；
（3）若M是侧棱PB中点，求直线CM与平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中AD⊥PB，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD我关键所在根据面面垂直的性质，即可得到PA⊥面ABCD；
（2）由（1）中结论，及二面角的定义可得∠PDA就是二面角P-DC-B的平面角，解Rt△PAD即可得到二面角P-DC-B的大小；
（3）作CE∥AD交AB于E点，连ME，可证得∠CME是CM与平面PAB所成的角，解三角形CME即可得到直线CM与平面PAB所成角的正弦值．

解答：证明：（1）在梯形PDCB中，PA⊥AD
又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，PA?面PAD
∴PA⊥面ABCD
解：（2）由（1）得：PA⊥平面ABCD
又CD⊥AD，
∴CD⊥PD
∴∠PDA就是二面角P-DC-B的平面角
在Rt△PAD中，PA=AD=1，
∴∠PDA=45°
即二面角P-DC-B的大小为45°．
（3）作CE∥AD交AB于E点，连ME
∵AD⊥AB
∴CE⊥AB
∵PA⊥平面ABCD
∴面PAB⊥面ABCD
∴CE⊥面PAB，
∴∠CME是CM与平面PAB所成的角
∵CE=1，ME=

1

2

，
∴CM=

5

2

，
∴sin∠CME=

CE

CM

=

2 5

5

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，其中（1）的关键是熟练掌握面面垂直的性质定理，（2）的关键是证得∠PDA就是二面角P-DC-B的平面角，（3）的关键是得到到∠CME是CM与平面PAB所成的角．