Question

（2010•汕头模拟）如图，多面体AEDBFC的直观图及三视图如图所示，M，N分别为AF，BC的中点．
（1）求证：MN∥平面CDEF；
（2）求多面体A-CDEF的体积．

Answer 1

分析：（1）通过三视图说明几何体的特征，证明MN平行平面CDEF内的直线BC，即可证明MN∥平面CDEF；
（2）说明四边形 CDEF是矩形，AH⊥平面CDEF，然后就是求多面体A-CDEF的体积．

解答：解：（1）证明：由多面体AEDBFC的三视图知，三棱柱AED-BFC中，底面DAE是等腰
直角三角形，DA=AE=2，DA⊥平面ABEF，侧面ABFE，ABCD都是边长为2的正方形． 
连接EB，则M是EB的中点，
在△EBC中，MN∥EC，
且EC?平面CDEF，MN?平面CDEF，
∴MN∥平面CDEF．
（2）因为DA⊥平面ABEF，EF?平面ABEF，∴EF⊥AD，
又EF⊥AE，所以，EF⊥平面ADE，
∴四边形 CDEF是矩形，
且侧面CDEF⊥平面DAE
取DE的中点H，∵DA⊥AE，DA=AE=2，∴AH=

2

，
且AH⊥平面CDEF．
所以多面体A-CDEF的体积V=

1

3

SCDEF•AH=

1

3

DE•EF•AH=

8

3

．

点评：本题是中档题，考查直线与平面平行的证明方法，几何体的体积的求法，考查计算能力．