Question

函数y=f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），且f（x）在（0，+∞）上是减函数，对任意非零实数m、n，都有f（m•n）=f（m）+f（n）．
（1）求证：f（1）=f（-1）=0；
（2）若f（2）=1，解不等式f（x+3）+f（x-1）≤2．

Answer 1

分析：（1）根据抽象函数“凑”的原则，结f（m•n）=f（m）+f（n）．分别令m=n=1，m=n=-1即可得到答案；
（2）先利用条件求出f（4）=2，不等式转化为 f[（x+3）（x-1）]≤f（4），再利用函数的奇偶性和单调性来解，即可得到不等式的解集．

解答：解：（1）令m=n=1
∵f（m•n）=f（m）+f（n）．
∴f（1）=2f（1）
∴f（1）=0（2分）
令m=-1，n=-1
f（1）=f（-1）+f（-1）=0
∴2f（-1）=0，f（-1）=0；（2分）
∴f（1）=f（-1）=0；
（2）∵f（x）在其定义域（0，+∞）上为减函数，
f（2）=1，∴f（4）=2，
 又∵f（m•n）=f（m）+f（n）．
∴不等式f（x+3）+f（x-1）≤2即 f[（x+3）（x-1）]≤f（4），
因为f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），所以f（x）是偶函数，在（-∞，0）上是增函数
∵（x+3）（x-1）=（x+1）²-4≥-4，
∴当（x+3）（x-1）为负数时，有f[（x+3）（x-1）]≥f（-4）=2，不成立
∴原不等式化为（x+3）（x-1）≥4，解之得x≤-1-2

2

或x≥-1+2

2

，
因此，不等式的解集是 {x|x≤-1-2

2

或x≥-1+2

2

}．

点评：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明及抽象函数值，抽象函数及其应用，利用题中的两个条件把不等式进行转化，再利用定义域及单调性来解．