Question

12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，sinB=$\frac{5}{13}$，
（Ⅰ）求$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$的值；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=12，求a+c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用等比数列的中项的性质，结合正弦定理，可得sin²B=sinAsinC，再由三角函数的恒等变换公式化简可得；
（Ⅱ）运用向量的数量积的定义和余弦定理，同角的平方关系，计算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）由a，b，c成等比数列，可得b²=ac，
由正弦定理可得，sin²B=sinAsinC，
则$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{cosC}{sinC}$+$\frac{cosA}{sinA}$=$\frac{sinAcosC+cosAsinC}{sinAsinC}$
=$\frac{sin（A+C）}{sinAsinC}$=$\frac{sinB}{sinAsinC}$=$\frac{sinB}{si{n}^{2}B}$=$\frac{1}{sinB}$=$\frac{13}{5}$；
（Ⅱ）$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=12，即有cacosB=12，可得cosB＞0，
由sinB=$\frac{5}{13}$，可得cosB=$\sqrt{1-\frac{25}{169}}$=$\frac{12}{13}$，
即有ac=13，b²=13，
由余弦定理可得，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{（a+c）^{2}-3ac}{2ac}$=$\frac{12}{13}$，
解得a+c=3$\sqrt{7}$．

点评 本题考查三角函数的化简和求值，注意运用等比数列的性质和正弦定理，三角函数的恒等变换公式，考查向量的数量积的定义，以及余弦定理的运用，属于中档题．