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通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长,R表示△ABC外接圆半径.
(1)如图所示,在以O为圆心,半径为2的⊙O中,BC和BA是⊙O的弦,其中BC=2,∠ABC=45°,求弦AB的长;
(2)在△ABC中,若∠C是钝角,求证:a2+b2<4R2
(3)给定三个正实数a、b、R,其中b≤a,问:a、b、R满足怎样的关系时,以a、b为边长,R为外接圆半径的△ABC不存在,存在一个或两个(全等的三角形算作同一个)?在△ABC存在的情况下,用a、b、R表示c.

【答案】分析:(1)由正弦定理知===2R,根据题目中所给的条件,不难得出弦AB的长;
(2)若∠C是钝角,故其余弦值小于0,由余弦定理得到a2+b2<c2<(2R)2,即可证得结果;
(3)根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边a,b的关系,以及与直径的大小的比较,分成三类讨论即可.
解答:解:(1)在△ABC中,BC=2,∠ABC=45°===2R⇒b=2
sinA=∵A为锐角∴A=30°,B=45°
∴C=75°∴AB=2Rsin75°=4sin75°=
(2)∠C为钝角,∴cosC<0,且cosC≠1
cosC=<0∴a2+b2<c2<(2R)2
即a2+b2<4R2(8分)
(3)a>2R或a=b=2R时,△ABC不存在
时,A=90,△ABC存在且只有一个
∴c=
时,∠A=∠B且都是锐角sinA=sinB=时,△ABC存在且只有一个
∴c=2RsinC=2Rsin2AC=
时,∠B总是锐角,∠A可以是钝角,可是锐角
∴△ABC存在两个
∠A<90°时,
c=
∠A>90°时,
c=
点评:本题考查三角形中的几何计算,综合考查了三角形形状的判断,解三角形,三角形的外接圆等知识,综合性很强,尤其是第三问需要根据a,b两边以及直径的大小比较确定三角形的形状.再在这种情况下求第三边的表达式,本解法主观性较强.难度较大.
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科目:高中数学 来源: 题型:

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(1)如图所示,在以O为圆心,半径为2的⊙O中,BC和BA是⊙O的弦,其中BC=2,∠ABC=45°,求弦AB的长;
(2)在△ABC中,若∠C是钝角,求证:a2+b2<4R2
(3)给定三个正实数a、b、R,其中b≤a,问:a、b、R满足怎样的关系时,以a、b为边长,R为外接圆半径的△ABC不存在,存在一个或两个(全等的三角形算作同一个)?在△ABC存在的情况下,用a、b、R表示c.

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通常用a、b、c分别表示△ABC的三个内角A,B,C所对边的边长,R表示△ABC的外接圆半径.
(1)如图,在以O为圆心、直径为8的⊙O中,BC和BA是⊙O的弦,其中BC=4,∠ABC=45°,求弦AB的长;
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科目:高中数学 来源: 题型:044

(2007上海春,20)通常用abc分别表示△ABC的三个内角ABC所对边的边长,R表示△ABC的外接圆半径.

(1)如图所示,在以O为圆心、半径为2的⊙O中,BCBA是圆的弦,其中BC=2,∠ABC=45°,求弦AB的长;

(2)在△ABC中,若∠C是钝角,求证:

(3)给定三个正实数abR,其中ba.问:abR满足怎样的关系时,以ab为边长,R为外接圆半径的△ABC不存在、存在一个或存在两个(全等的三角形算作同一个)?在△ABC存在的情况下,用abR表示c

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科目:高中数学 来源:2007年上海市春季高考数学试卷(解析版) 题型:解答题

通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长,R表示△ABC外接圆半径.
(1)如图所示,在以O为圆心,半径为2的⊙O中,BC和BA是⊙O的弦,其中BC=2,∠ABC=45°,求弦AB的长;
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(3)给定三个正实数a、b、R,其中b≤a,问:a、b、R满足怎样的关系时,以a、b为边长,R为外接圆半径的△ABC不存在,存在一个或两个(全等的三角形算作同一个)?在△ABC存在的情况下,用a、b、R表示c.

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