Question

（2010•通州区一模）设不等式组

-2≤x≤2 0≤y≤2

确定的平面区域为U，

x-y+2≥0 x+y-2≤0 y≥0

确定的平面区域为V．
（I）定义坐标为整数的点为“整点”．在区域U内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V的概率；
（II）在区域U内任取3个点，记此3个点在区域V的个数为X，求X的概率分布列及其数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，画出区域U与V，可得其中整点的个数，进而由古典概型公式，计算可得答案；
（Ⅱ）根据题意，易得区域U的面积为8，区域V的面积为4，进而可得在区域U内任取一点，该点在区域V内的概率，依题意可得X的取值为0，1，2，3；由n次独立重复试验中恰有k次发生的概率公式，可得X为0，1，2，3的概率，可得X的分布列，进而由期望公式，计算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由题意，区域U内共有15个整点，区域V内共有9个整点，
设所取3个整点中恰有2个整点在区域V的概率为P（v），
则P（v）=

C 2 9 C 1 6

C 3 15

=

216

455

．          
（Ⅱ）区域U的面积为8，区域V的面积为4，
∴在区域U内任取一点，该点在区域V内的概率为

4

8

=

1

2

．                         
则X的取值为0，1，2，3，
P（X=0）=C₃⁰（

1

2

）⁰（

1

2

）³=

1

8

，
P（X=1）=C₃¹（

1

2

）¹（

1

2

）²=

3

8

，
P（X=0）=C₃²（

1

2

）²（

1

2

）¹=

3

8

，
P（X=3）=C₃³（

1

2

）³（

1

2

）⁰=

1

8

，
∴X的分布列为

X	0	1	2	3
P（X）	1 8	3 8	3 8	1 8

E（X）=0×

1

8

+1×

3

8

+2×

3

8

+3×

1

8

=

3

2

点评：本题考查排列组合的运用、离散型变量的期望与方差的计算，解题时注意（Ⅰ）涉及整点，是古典概型；（Ⅱ）利用面积，是几何概型．