Question

（2011•盐城二模）选修4-2  矩阵与变换
已知矩阵M=

1 2 2 x

的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．

Answer 1

分析：根据特征多项式的一个零点为3，可得x=1，再回代到方程f（λ）=0即可解出另一个特征值为λ₂=-1．最后利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量．

解答：解：矩阵M的特征多项式为
f（λ）=

.

λ-1 -2 -2 λ-x

.

=（λ-1）（λ-x）-4．
∵λ₁=3方程f（λ）=0的一根，
∴（3-1）（3-x）-4=0，可得x=1，M=

1 2 2 1

．
∴方程f（λ）=0即（λ-1）（λ-1）-4=0，λ²-2λ-3=0
可得另一个特征值为：λ₂=-1，
设λ₂=-1对应的一个特征向量为α=

x   y

，
则由λ₂α=Mα，得

-2x-2y=0 -2x-2y=0

得x=-y，可令x=1，则y=-1，
所以矩阵M的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为α=

1   -1

．

点评：本题给出含有字母参数的矩阵，在知其一个特征值的情况下求另一个特征值和相应的特征向量，考查了特征值与特征向量的计算的知识，属于基础题．