Question

【题目】已知椭圆 C： =1（ a＞b＞0）经过点 （1， ），离心率为 ，点 A 为椭圆 C 的右顶点，直线 l 与椭圆相交于不同于点 A 的两个点P （x1 ， y1），Q （x2 ， y2）．
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）当 =0 时，求△OPQ 面积的最大值；
（Ⅲ）若直线 l 的斜率为 2，求证：△APQ 的外接圆恒过一个异于点 A 的定点．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e= = ，即c2= a2 ， 即b2=a2﹣c2= a2 ， a2=4b2 ，
将点 （1， ）代入椭圆方程 ，即 ，解得：b2=1，
∴a2=4，
∴椭圆的标准方程： ；
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，设l：x=m，代入椭圆方程 ，
P（m， ），Q（m，﹣ ），
由 =0，（m﹣2）2﹣（1﹣ ）=0，解得：m= ，m=2（舍去），
此时丨PQ丨= ，△OPQ的面积为 ，
当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，代入椭圆方程，（4k2+1）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，
由△＞0，则4k2﹣m2+1＞0，
x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
由 =0，
（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=（k2+1）x1x2+（km﹣2）（x1+x2）+m2+4=0，
代入求得12k2+5m2+16km=0，
即m=﹣ k，m=﹣2k，（此时直线l过点A，舍去），
丨PQ丨= = ，
点O到直线l的距离d= ，
△OPQ的面积为 ，将m=﹣ k代入，
× ＜ ，
△OPQ 面积的最大值 ；
（Ⅲ）证明：设直线y=2x+m，代入椭圆方程，整理得：17x2+16mx+4（m2﹣1）=0，
设△△APQ的外接圆方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，
联立直线l的方程，5x2+（4m+D+2E）x+（m2+mE+F）=0，
代入可知 = = ，
由外接圆过点A（2，0），则2D+F=﹣4，
从而可得关于D，E，F的三元一次方程组，
，解得： ，
代入椭圆方程，整理得：（x2+y2﹣ x+ y﹣ ）+ （2x+y﹣4）=0，
∴ ，解得： ，或 ，
△APQ 的外接圆恒过一个异于点A的定点（ ， ）
【解析】（Ⅰ）由椭圆的离心率，求得a和b的关系，将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）当斜率不存在时，求P和Q点坐标，由 =0，求得m的值，求得丨PQ丨求得，△OPQ的面积，当斜率存在时，设直线l方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式及三角形的面积公式，即可求得△OPQ 面积的最大值；（Ⅲ）设直线y=2x+m，代入椭圆方程，设外接圆的方程，联立直线l的方程，将A代入外接圆方程，联立方程，即可求得△APQ 的外接圆恒过一个异于点 A 的定点．
【考点精析】通过灵活运用椭圆的标准方程，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：即可以解答此题．