【题目】已知正方体的棱长为,点E,F,G分别为棱AB,,的中点,下列结论中,正确结论的序号是___________.
①过E,F,G三点作正方体的截面,所得截面为正六边形;
②平面EFG;
③平面;
④异面直线EF与所成角的正切值为;
⑤四面体的体积等于.
【答案】①③④
【解析】
根据公理3,作截面可知①正确;根据直线与平面的位置关系可知②不正确;根据线面垂直的判定定理可知③正确;根据空间向量夹角的坐标公式可知④正确;用正方体体积减去四个正三棱锥的体积可知⑤不正确.
延长EF分别与,的延长线交于N,Q,连接GN交于H,设HG与的延长线交于P,连接PQ交于,交BC于M,连FH,HG,GI,IM,ME,,
如图:
则截面六边形EFHGIM为正六边形,故①正确:
因为与HG相交,故与平面EFG相交,所以②不正确:
(三垂线定理),
(三垂线定理),
且AC与相交,
所以平面,故③正确;
以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系,
则,
则,,
所以,
所以,
所以,
所以异面直线EF与的夹角的正切值为,故④正确;
因为四面体的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积,
即为,故⑤不正确.
故答案为:①③④
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【题目】如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径为,是圆心,且.在上有一座观赏亭,其中.计划在上再建一座观赏亭,记.
(1)当时,求的大小;
(2)当越大,游客在观赏亭处的观赏效果越佳,求游客在观赏亭处的观赏效果最佳时,角的正弦值.
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【题目】对于函数,若存在定义域中的实数,满足且,则称函数为“类” 函数.
(1)试判断,是否是“类” 函数,并说明理由;
(2)若函数,,为“类” 函数,求的最小值.
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【题目】在梯形ABCD中,DC∥AB,DC⊥CB,E是AB的中点,且AB=2BC=2CD=4(如图所示),将△ADE沿DE翻折,使AB=2(如图所示),F是线段AD上一点,且AF=2DF.
(Ⅰ)求四棱锥A-BCDE的体积;
(Ⅱ)在线段BE上是否存在一点G,使EF∥平面ACG?若存在,请指出点G的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.
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【题目】某学校有初级教师21人,中级教师14人,高级教师7人,现采用分层抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查.
(1)求应从初级教师,中级教师,高级教师中分别抽取的人数;
(2)若从抽取的6名教师中随机抽取2名做进一步数据分析,求抽取的2名均为初级教师的概率。
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【题目】如图,在四棱锥中,⊥底面,⊥,∥,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.
(1)证明:BE⊥DC;
(2)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F-AB-P的余弦值.
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【题目】过双曲线的左焦点作圆的切线,切点为,延长交双曲线右支于点.若线段的中点为,为坐标原点,则与的大小关系是( )
A. B.
C. D. 无法确定
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