Question

（2013•福建）已知函数f（x）=x-1+

a

ex

（a∈R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）当a=1时，若直线l：y=kx-1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，f′（1）=0，从而可求得a的值；
（Ⅱ）f′（x）=1-

a

ex

，分①a≤0时②a＞0讨论，可知f（x）在∈（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，从而可求其极值；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-（kx-1）=（1-k）x+

1

ex

，则直线l：y=kx-1与曲线y=f（x）没有公共点?方程g（x）=0在R上没有实数解．分k＞1与k≤1讨论即可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x-1+

a

ex

，得f′（x）=1-

a

ex

，又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，
∴f′（1）=0，即1-

a

e

=0，解得a=e．
（Ⅱ）f′（x）=1-

a

ex

，
①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（-∞，+∞）上的增函数，所以f（x）无极值；
②当a＞0时，令f′（x）=0，得e^x=a，x=lna，
x∈（-∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0；
∴f（x）在∈（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．
综上，当当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值．
（Ⅲ）当a=1时，f（x）=x-1+

1

ex

，令g（x）=f（x）-（kx-1）=（1-k）x+

1

ex

，
则直线l：y=kx-1与曲线y=f（x）没有公共点，
等价于方程g（x）=0在R上没有实数解．
假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（

1

k-1

）=-1+

1

e 1 k-1

＜0，
又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1．
又k=1时，g（x）=

1

ex

＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解，
所以k的最大值为1

点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，突出分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于难题．