Question

已知-

π

4

≤x≤

π

3

，y=tan²x-2tanx+2．求函数的最大值和最小值，并求出相应的x的值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：计算题,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：令tanx=t，由正切函数的单调性，可得t的范围，再由二次函数在闭区间上的最值求法，运用二次函数的单调性，即可得到结论．

解答： 解：令tanx=t，
由于-

π

4

≤x≤

π

3

，则-1≤t≤

3

，
则y=t²-2t+2，
=（t-1）²+1，在区间[-1，1]上单调递减，在区间[1，

3

]上单调递增，
则有当t=1时，即x=

π

4

，取得最小值1，
当t=-1，y=5，t=

3

时，y=5-2

3

，
则当t=-1时，即x=-

π

4

，取得最大值5．

点评：本题考查三角函数的最值，考查可化为二次函数的最值，注意对称轴和区间的关系，属于中档题．