【题目】已知函数.
(1)讨论在上的单调性;
(2)令,当时,证明:对,使.
【答案】(1)见解析;(2)见证明
【解析】
(1)由题意可得,分类讨论时,和三种情况确定函数的单调性即可;
(2)此时原题目等价于.由函数f(x)的解析式可得,结合函数g(x)的性质证明即可证得题中的结论.
(1)
当时,由于,所以恒成立,在为增函数;
当时,①若恒成立,在上为减函数;
②若,令,得在上为增函数,上为减函数.
综上:当时,在上为增函数;
当时,在上为增函数,在上为减函数;
当时,在上为减函数.
(2)此时原题目等价于.
当时,,由(1)知在上为增函数,在上为减函数,,
令 .令,得,
在上恒成立,在上单调递增,即在上单调递增.
当时, ,
由于存在,使,即,
在单调递减,在单调递增,
,
令 恒成立,在上为减函数
,从而命题得证.
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【题目】某公司为了解广告投入对销售收益的影响,在若干地区各投入万元广告费用,并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从开始计数的. [附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.]
(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度;
(2)试估计该公司投入万元广告费用之后,对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值);
(3)该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:
广告投入 (单位:万元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销售收益 (单位:万元) | 2 | 3 | 2 | 7 |
由表中的数据显示, 与之间存在着线性相关关系,请将(2)的结果填入空白栏,并求出关于的回归直线方程.
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【题目】已知椭圆的左右焦点为,是椭圆上半部分的动点,连接和长轴的左右两个端点所得两直线交正半轴于两点(点在的上方或重合).
(1)当面积最大时,求椭圆的方程;
(2)当时,在轴上是否存在点使得为定值,若存在,求点的坐标,若不存在,说明理由.
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【题目】(多选题)下列说法正确的是( )
A.椭圆1上任意一点(非左右顶点)与左右顶点连线的斜率乘积为
B.过双曲线1焦点的弦中最短弦长为
C.抛物线y2=2px上两点A(x1,y1).B(x2,y2),则弦AB经过抛物线焦点的充要条件为x1x2
D.若直线与圆锥曲线有一个公共点,则该直线和圆锥曲线相切
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【题目】某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的倍,为了更好地对比该校考生的升学情况,统计了该校2015年和2018年的高考情况,得到如图柱状图:
则下列结论正确的是
A. 与2015年相比,2018年一本达线人数减少
B. 与2015年相比,2018年二本达线人数增加了倍
C. 2015年与2018年艺体达线人数相同
D. 与2015年相比,2018年不上线的人数有所增加
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【题目】某大学为调研学生在, 两家餐厅用餐的满意度,从在, 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人,每人分别对这两家餐厅进行评分,满分均为60分.
整理评分数据,将分数以10为组距分成6组: , , , , , ,得到餐厅分数的频率分布直方图,和餐厅分数的频数分布表:
定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下:
分数 | |||
满意度指数 |
(Ⅰ)在抽样的100人中,求对餐厅评价“满意度指数”为0的人数;
(Ⅱ)从该校在, 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查,试估计其对餐厅评价的“满意度指数”比对餐厅评价的“满意度指数”高的概率;
(Ⅲ)如果从, 两家餐厅中选择一家用餐,你会选择哪一家?说明理由.
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【题目】已知双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为,且
(1)求双曲线C的方程;
(2)已知直线与双曲线C交于不同的两点A,B且线段AB的中点在圆上,求m的值
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【题目】某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,将测试结果按如下方式分成五组:第一组,第二组,,第五组.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好,求该班在这次百米测试中成绩良好的人数;
(2)设m,n表示该班某两位同学的百米测试成绩,且已知求事件“”发生的概率.
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