Question

（理科）设函数f（x）=lnx-x+1，
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求证：lnx≤x-1；
（Ⅲ）证明：．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知得，由f'（x）＞0，得，，x＞1．
∴f（x）在（1，+∞）上为减函数，在（0，1）为增函数．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当x=1时，f（x）_max=-1+1=0．
对任意x＞0，有f（x）≤0，即lnx-x+1≤0． 即lnx≤x-1．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，当x≥2时，则，
∴，∴=
又，
∴
故不等式的左边小于，故要证的不等式成立．…（14分）
分析：（Ⅰ）由导数f'（x）＞0求得x的范围，即为函数的增区间，同理，由导数f'（x）＜0求得x的范围，即为函数的减区间．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当x=1时，f（x）_max=-1+1=0．故对任意x＞0，有f（x）≤0，由此化简可得要证的不等式．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当x≥2时，则，，故不等式的左边小于，再由，可得
，从而证得不等式成立．
点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，用放缩法证明不等式，体现了转化的数学思想，其中，用放缩法证明不等式，是解题的难点．