Question

【题目】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED是以BD为直角腰的直角梯形，DE=2BF=2，平面BFED⊥平面ABCD． （Ⅰ）求证：AD⊥平面BFED；
（Ⅱ）在线段EF上是否存在一点P，使得平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为 ．若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，
∴故 AB=2，
∴BD2=AB2+AD2﹣2ABADcos60°=3，
∴AB2=AD2+BD2
∴BD⊥AD，
∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD=BD，
∴AD⊥平面BFED．
（Ⅱ）∵AD⊥平面BFED，∴AD⊥DE，
以D为原点，分别以DA，DE，DE为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（0， ，0），P（0，λ， ），
=（﹣1， ，0）， = ．

取平面EAD的一个法向量为 =（0，1，0），
设平面PAB的一个法向量为 =（x，y，z），
由 =0， =0得： ，取y=1，可得 =（ ）．
∵二面角A﹣PD﹣C为锐二面角，平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为 ．
∴cos＜ = = = ，
解得λ= ，即P为线段EF的3等分点靠近点E的位置
【解析】（Ⅰ）推出AB=2，求解AB2=AD2+BD2 ， 证明BD⊥AD，然后证明AD⊥平面BFED．（Ⅱ）以D为原点，分别以DA，DE，DE为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面EAD的一个法向量，平面PAB的一个法向量，利用向量的数量积，转化求解即可．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面垂直的判定，需要了解一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能得出正确答案．