Question

9．双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，F₁，F₂为C的焦点，A为双曲线上一点，若|F₁A|=2|F₂A|，则cos∠AF₂F₁=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

Answer 1

分析 由两直线垂直的条件可得渐近线的斜率为2，即有b=2a，再求c=$\sqrt{5}$a，运用双曲线的定义和条件，解得三角形
AF₂F₁的三边，再由余弦定理，即可得到所求值．

解答 解：由于双曲线的一条渐近线y=$\frac{b}{a}$x与直线x+2y+1=0垂直，
则一条渐近线的斜率为2，
即有b=2a，c=$\sqrt{5}$a，
|F₁A|=2|F₂A|，且由双曲线的定义，可得|F₁A|-|F₂A|=2a，
解得，|F₁A|=4a，|F₂A|=2a，
又|F₁F₂|=2c，由余弦定理，可得
cos∠AF₂F₁=$\frac{4{a}^{2}+4×5{a}^{2}-16{a}^{2}}{2×2a×2\sqrt{5}a}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
故答案为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查双曲线的定义和性质，考查两直线的垂直的条件及余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．