Question

已知椭圆的左、右焦点分别为，， 点是椭圆的一个顶点，△是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，证明：直线过定点（）．

Answer 1

（Ⅰ）由已知可得，
所求椭圆方程为．          ……4分
（Ⅱ）若直线的斜率存在，设方程为，依题意．
设，，
由  得 ． ……6分
则． 由已知，
所以，即． ……8分
所以，整理得 ．
故直线的方程为，即（）．
所以直线过定点（）．       ………10分
若直线的斜率不存在，设方程为，
设，，由已知，
得．此时方程为，显然过点（）．
综上，直线过定点（）．

略