Question

已知P：实数x满足x²-2x-3＜0； Q：实数x满足

x-2

x+3

＜0．
（Ⅰ）在区间（-5，4）上任取一个实数x，求事件“P∨Q为真命题”发生的概率；
（Ⅱ）若数对（m，n）中，m∈{x∈Z|x满足P}，n∈{x∈Z|x满足Q}，求事件“n-m∈{x|x满足‘P∧Q'}”发生的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化简集合P，Q，利用几何概型的概率公式即可求出事件“P∨Q为真命题”发生的概率；
（Ⅱ）根据古典概型的概率公式进行计算即可．

解答：解：（Ⅰ）P为真命题?x²-2x-3＜0，x∈R?-1＜x＜3；
Q为真命题?

x-2

x+3

＜0，x∈R?（x-2）（x+3）＜0，x∈R?-3＜x＜2；
又P∨Q为真命题，
∴P为真命题或Q为真命题，即-3＜x＜3，
∴区间（-5，4）的长度为9，区间（-3，3）的长度为6，
由几何概型知p1=

6

9

=

2

3

故在区间（-5，4）上任取一个实数x，
事件“P∨Q为真命题”发生的概率为

2

3

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，m=0、1、2，n=-2、-1、0、1，
则基本事件（m，n）共有12个：（0，-2），（0，-1），（0，0），（0，1），（1，-2），（1，-1），
（1，0），（1，1），（2，-2），（2，-1），（2，0），（2，1）．
又“x满足P∧Q”?

-1＜x＜3 -3＜x＜2

?-1＜x＜2，
∴符合“n-m∈{x|x满足‘P∧Q'}”的基本事件共有3个：（0，0），（0，1），（1，1）．
由古典概型知p2=

3

12

=

1

4

故事件“n-m∈{x|x满足‘P∧Q'}”的发生概率为

1

4

．

点评：本题主要考查几何概型和古典概型的概率公式的计算，利用复合命题与简单命题之间的关系是解决本题的关键．