Question

已知函数f（x）=

1

2

x2+2ax-lnx，若f（x）在区间[

1

3

，2]上是增函数，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：由题意，f（x）在区间[

1

3

，2]上是增函数可化为f′(x)=x+2a-

1

x

≥0在[

1

3

，2]恒成立，从而再化为最值问题．

解答： 解：∵f（x）在区间[

1

3

，2]上是增函数，
∴f′(x)=x+2a-

1

x

≥0在[

1

3

，2]恒成立，
即2a≥-x+

1

x

在[

1

3

，2]恒成立，
∵-x+

1

x

在[

1

3

，2]上是减函数，
∴(-x+

1

x

)max=

8

3

，
∴2a≥

8

3

即a≥

4

3

．
故答案为：a≥

4

3

．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理与应用，属于中档题．