Question

有一个翻硬币游戏，开始时硬币正面朝上，然后掷骰子根据下列①、②、③的规则翻动硬币：①骰子出现1点时，不翻动硬币；②出现2，3，4，5点时，翻动一下硬币，使另一面朝上；③出现6点时，如果硬币正面朝上，则不翻动硬币；否则，翻动硬币，使正面朝上。按以上规则，在骰子掷了n次后，硬币仍然正面朝上的概率记为P_n。
（1）求证：n∈N*，点（P_n，P_n+1）恒在过定点斜率为-的直线上；
（2）求数列{P_n}的通项公式P_n；
（3）用记号S_n→m表示数列{P_n-}从第n项到第m项之和，那么对于任意给定的正整数k，求数列S_1→k，S_k+1→2k，…S_{（n-1）k+1→nk}的前n项和T_n。

Answer 1

解：（1）设把骰子掷了n+1次，硬币仍然正面朝上的概率为P_n+1，此时有两种情况：
①第n次硬币正面朝上，其概率为P_n，且第n+1次骰子出现1点或6点，硬币不动，其概率为
因此，此种情况下产生硬币正面朝上的概率为。
②第n次硬币反面朝上，其概率为1-P_n，且第n+1次骰子出现2，3，4，5点或6点，其概率为
因此，此种情况下产生硬币正面朝上的概率为。
∴
变形得
∴，点恒在过定点，斜率为的直线上。
（2）
又由（1）知
∴是首项为，公比为的等比数列
∴
故所求通项公式为
。
（3）由（2）知，是首项
公比为等比数列
又∵是常数
∴也成等比数列
且
从而
。