Question

（2011•武昌区模拟）已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立；（2）当x∈（1，3]时，f（x）=3-x．给出如下结论：
①对任意m∈Z，有f（3^m）=0；
②函数f（x）的值域为[0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（3ⁿ+1）=9．
其中所有正确结论的序号是

①②

．

Answer 1

分析：依据题中条件注意研究每个选项的正确性，连续利用题中第（1）个条件得到①正确；连续利用题中第①②个条件得到②正确，③错误．

解答：解：①∵对任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立，当x∈（1，3]时，f（x）=3-x．
∴f（3^m）=f（3•3^m-1）=3f（3^m-1）=…=3^m-1f（3）=0，正确；
②取x∈（3^m，3^m+1]，则

x

3m

∈(1，3]；f(

x

3m

)=3-

x

3m

，f(

x

3

)=…=3mf(

x

3m

)=3m+1-x，
从而f（x）∈[0，+∞），正确；
③∵x∈（1，3]时，f（x）=3-x，对任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立，n∈Z，
∴f（3ⁿ+1）=3ⁿf（1+

1

3n

）=3ⁿ（3-（1+

1

3n

））=3ⁿ（2-

1

3n

）≠9，故③错误；
故答案为：①②．

点评：本题通过抽象函数，考查了函数的周期性，单调性，以及学生的综合分析能力，难度大，易错点在于②x∈（3^m，3^m+1]，f(

x

3

)=…=3mf(

x

3m

)=3m+1-x的转化，属于难题．