Question

18．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x+y-3=0和圆M：x²+（y-m）²=8，若圆M上存在点P，使得P到直线l的距离为3$\sqrt{2}$，则实数m的取值范围是[-7，1]∪[5，13]．

Answer 1

分析 设P（2$\sqrt{2}$cosθ，m+2$\sqrt{2}$sinθ），由P到直线l：x+y-3=0的距离为3$\sqrt{2}$，得$|4sin（θ+\frac{π}{4}）-3+m|$=6，由此利用三角函数性质能求出实数m的取值范围．

解答 解：∵圆M：x²+（y-m）²=8，圆M上存在点P，
∴设P（2$\sqrt{2}$cosθ，m+2$\sqrt{2}$sinθ），
∵P到直线l：x+y-3=0的距离为3$\sqrt{2}$，
∴$\frac{|2\sqrt{2}cosθ+m+2\sqrt{2}sinθ-3|}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，
即$|4sin（θ+\frac{π}{4}）-3+m|$=6，
∵$-7≤4sin（θ+\frac{π}{4}-3）+m≤1$，
∴-7≤m≤1或5≤m≤13，
∴实数m的取值范围是[-7，1]∪[5，13]．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式和三角函数性质的合理运用．