Question

【题目】已知函数 ．
（1）求f（x）在（1，0）处的切线方程；
（2）求证： ；
（3）若lng（x）≤ax2对任意x∈R恒成立，求实数a的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解： f（x）的导数为f′（x）= ﹣ = ，

可得f（x）在（1，0）处的切线斜率为0，

所以f（x）在（1，0）处的切线方程为y=0；

（2）证明：设 ，

由G（﹣x）=G（x），

则G（x）为偶函数，

仅考虑x≥0时的情形： ，

设 ，则 ，

即G1（x）为单调递增函数，

G1（x）≥G1（0）=0，即G'（x）≥0，所以G（x）单调递增，

所以G（x）≥G（0）=0，

又由于G（x）是偶函数，所以当x∈R时，G（x）≥0，

即 ．

（3）由f（x）=lnx+ ﹣1的导数f′（x）= ﹣ = ，

当x＞1时，f（x）递增；当0＜x＜1时，f（x）递减，

可得f（x）的极小值且为最小值f（1）=0，

即有lnx+ ﹣1≥0，

由（2）可知 ，

又 ，

从而 对任意x∈R恒成立，

整理得 ，从而 ，即 ．

下面证明 ，由于不等式左右两边都是偶函数，

只需考虑x≥0情况，

只需证明 ，令 ，

则H（0）=0，且 ，

令 ，

则h（0）=0，且 ，

因此当x≥0时，h（x）≤0，即H'（x）≤0，H（x）单调递减，

从而当x≥0时，H（x）≤0，

从而证明了当x∈R时， ，

所以参数a的最小值为 ．

【解析】】1、由题意可得利用f（x）的导数求出切点处的斜率，进而可求切线的方程。
2、根据题意可设 G ( x ) = lng(x) -1,利用偶函数的定义可得 G（x）为偶函数，再根据求导得到G（x）是x≥0的单调递增函数，故有G（x）≥G（0）=0，由于G（x）是偶函数，所以当x∈R时，G（x）≥0，即得结论。
3、根据题意利用对f ( x )求导，可得到f（x）的极小值且为最小值f（1）=0，即有lnx+ ﹣1≥0，根据（2）的结论利用基本不等式可推导出a ≥ ，故参数a的最小值为 。