Question

如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠BCD=60°，BC=1，E为CD的中点，PC与平面ABCD成60°角．
（1）求证：平面EPB⊥平面PBA；
（2）求二面角P-BD-A 的余弦值．

Answer 1

分析：（1）证明BE⊥AB，由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BE，所以BE⊥面PAB，由此能够证明面PBE⊥面PAB；
（2）连AC，BD交于O，则∠POA为二面角P-BD-A的平面角，从而可得结论．

解答：（1）证明：∵E为CD的中点，BC=1，ABCD为菱形，∴CE=

1

2

，
又∠BCD=60°，
∴∠BEC=90°，∴BE⊥AB，
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BE，
∵PA?面PAB，AB?面PAB，PA∩AB=A，
∴BE⊥面PAB，
∵BE?面PBE，
∴面PBE⊥面PAB．   
（2）解：连AC，BD交于O，则AO⊥BD
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PO⊥BD
∴∠POA为二面角P-BD-A的平面角，
∵PC与平面ABCD成60°角，
∴∠POA=60°
∵∠BCD=60°，BC=1，
∴AC=2

3

，AD=

3

∴PA=6，PO=

39

∴cos∠POA=

3

39

=

13

13

．

点评：本题考查线面垂直，考查面面垂直，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．