Question

已知命题P：函数f(x)=

1

3

(1-x)且|f（a）|＜2，命题Q：集合A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}且A∩B=∅，
（1）分别求命题P、Q为真命题时的实数a的取值范围；
（2）当实数a取何范围时，命题P、Q中有且仅有一个为真命题；
（3）设P、Q皆为真时a的取值范围为集合S，T={y|y=x+

m

x

，x∈R，x≠0，m＞0}，若?_RT⊆S，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，由|f（a）|=|

1

3

(1-a)|＜2解不等式可得P：a∈（-5，7）；由A∩B=∅，可得A有两种情况
①若A=∅，则△=（a+2）（a+2）-4＜0，②若A≠φ，则

△=(a+2)2-4≥0 -(a+2)＜0

，解可得Q
（2）当P为真，则

-5＜a＜7 a≤-4

；当Q为真，则

a≤-5或a≥7 a＞-4

可求
（3）当P，Q都为真时，

-5＜a＜7 a＞-4

可求S=（-4，7），利用基本不等式可求T，进而可求?_RT，然后根据?_RT⊆S，可求

解答：解：（1）由题意可得，由|f（a）|=|

1

3

(1-a)|＜2可得-6＜a-1＜6
解可得，-5＜a＜7
∴P：a∈（-5，7）
∵集合A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}且A∩B=∅，
①若A=∅，则△=（a+2）（a+2）-4＜0，即-4＜a＜0
②若A≠φ，则

△=(a+2)2-4≥0 -(a+2)＜0

，解可得，a≥0
综上可得，a＜-4
∴Q：a∈（-4，+∞）
（2）当P为真，则

-5＜a＜7 a≤-4

，a∈（-5，-4]；
当Q为真，则

a≤-5或a≥7 a＞-4

，a∈[7，+∞）
所以a∈（-5，-4]∪[7，+∞）
（3）当P，Q都为真时，

-5＜a＜7 a＞-4

即S=（-4，7）
T=(-∞，-2

m

]∪[2

m

，+∞)
∵?RT=(-2

m

，2

m

)⊆(-4，7)
∴

-2 m ≥-4 2 m ≤7

⇒m≤4
综上m∈（0，4]

点评：本题主要考查了复合命题真假的应用，解题的关键是要把命题P，Q为真时所对应的参数a的范围准确求出，还要注意集合直接包含关系的应用．