Question

（2013•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e=

2

2

，过左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用点A（-c，2）在椭圆上，结合椭圆的离心率，求出几何量，即可求得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设出圆Q的圆心坐标及半径，由PQ⊥P'Q得到P的坐标，写出圆的方程后和椭圆联立，化为关于x的二次方程后由判别式等于0得到关于t与r的方程，把P点坐标代入椭圆方程得到关于t与r的另一方程，联立可求出t与r的值，经验证满足椭圆上的其余点均在圆Q外，结合对称性即可求得圆Q的标准方程．

解答：解：（Ⅰ）由题意知点A（-c，2）在椭圆上，则

(-c)2

a2

+

4

b2

=1，即

a2-b2

a2

+

4

b2

=1①
∵离心率e=

2

2

，∴

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

②
联立①②得：

4

b2

=

1

2

，所以b²=8．
把b²=8代入②得，a²=16．
∴椭圆的标准方程为

x2

16

+

y2

8

=1；
（Ⅱ）设Q（t，0），圆Q的半径为r，则圆Q的方程为（x-t）²+y²=r²，
不妨取P为第一象限的点，因为PQ⊥P'Q，则P（t+

2

2

r，

2

2

r）（t＞0）．
联立

(x-t)2+y2=r2 x2 16 + y2 8 =1

，得x²-4tx+2t²+16-2r²=0．
由△=（-4t）²-4（2t²+16-2r²）=0，得t²+r²=8
又P（t+

2

2

r，

2

2

r）在椭圆上，所以

(t+ 2 2 r)2

16

+

( 2 2 r)2

8

=1．
整理得，t=

8- 1 2 r2

2 r

．
代入t²+r²=8，得

(8- 1 2 r2)2

2r2

+r2=8．
解得：r2=

16

3

．所以t2=

8

3

，t=

2 6

3

．
此时t+r=

2 6

3

+

4 3

3

＜4．
满足椭圆上的其余点均在圆Q外．
由对称性可知，当t＜0时，t=-

2 6

3

，r2=

16

3

．
故所求椭圆方程为(x±

2 6

3

)2+y2=

16

3

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查方程组的解法，考查学生的计算能力，属于中档题．